Как найти площадь треугольника

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

Через основание и высоту

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

Через две стороны и угол

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Через сторону и два прилежащих угла

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Равносторонний треугольник — треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

Источник:
http://www.mozgan.ru/Geometry/AreaTriangle

Как найти площадь любого треугольника

Вспоминаем геометрию: формулы для произвольных, прямоугольных, равнобедренных и равносторонних фигур.

Как найти площадь любого треугольника

Посчитать площадь треугольника можно разными способами. Выбирайте формулу в зависимости от известных вам величин.

Зная сторону и высоту

  1. Умножьте сторону треугольника на высоту, проведённую к этой стороне.
  2. Поделите результат на два.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a — сторона треугольника.
  • h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на сторону или её продолжение из противоположной вершины.

Зная две стороны и угол между ними

  1. Посчитайте произведение двух известных сторон треугольника.
  2. Найдите синус угла между выбранными сторонами.
  3. Перемножьте полученные числа.
  4. Поделите результат на два.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a и b — стороны треугольника.
  • α — угол между сторонами a и b.

Сейчас читают

Зная три стороны (формула Герона)

  1. Посчитайте разности полупериметра треугольника и каждой из его сторон.
  2. Найдите произведение полученных чисел.
  3. Умножьте результат на полупериметр.
  4. Найдите корень из полученного числа.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a, b, c — стороны треугольника.
  • p — полупериметр (равен половине от суммы всех сторон треугольника).

Зная три стороны и радиус описанной окружности

  1. Найдите произведение всех сторон треугольника.
  2. Поделите результат на четыре радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • R — радиус описанной окружности.
  • a, b, c — стороны треугольника.

Зная радиус вписанной окружности и полупериметр

Умножьте радиус окружности, вписанной в треугольник, на полупериметр.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • r — радиус вписанной окружности.
  • p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).

Как найти площадь прямоугольного треугольника

  1. Посчитайте произведение катетов треугольника.
  2. Поделите результат на два.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a, b — катеты треугольника, то есть стороны, которые пересекаются под прямым углом.

Как найти площадь равнобедренного треугольника

  1. Умножьте основание на высоту треугольника.
  2. Поделите результат на два.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a — основание треугольника. Это та сторона, которая не равняется двум другим. Напомним, в равнобедренном треугольнике две из трёх сторон имеют одинаковую длину.
  • h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на основание из противоположной вершины.

Как найти площадь равностороннего треугольника

  1. Умножьте квадрат стороны треугольника на корень из трёх.
  2. Поделите результат на четыре.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a — сторона треугольника. Напомним, в равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину.

Источник:
http://lifehacker.ru/kak-najti-ploshhad-lyubogo-treugolnika/

Расчет площади треугольника: простые и доступные способы

Для вычисления площади такой фигуры, как треугольник, существует несколько способов. Кроме изучаемого в школе способа найти искомый параметр помогают другие методы.

Классические методы расчета

Отличие в разных формулах заключается в исходных данных. В них используются различные элементы треугольника. В задачах не всегда есть возможность выбирать вводные величины. Базовая школьная формула основаны на знании длины одной из сторон (a):

  • из противоположного угла на известное основание опускают высоту (h);
  • измеряют ее длину;
  • произведение двух известных величин делят надвое и получают площадь треугольника.

Также в школьной программе часто используется способ расчета площади произвольного (в т. ч. равнобедренного) треугольника на основании известного угла (α) и длины примыкающих к нему сторон (a и b):

  1. Вычислите синус угла.
  2. Перемножьте между собой длины сторон.
  3. Разделите величину надвое.
  4. Умножьте друг на друга данные из пунктов 1 и 2. Результат готов.

В примере с прямоугольным треугольником посчитать его площадь можно в три нажатия на калькуляторе. Достаточно перемножить значения его катетов (прилегающих к прямому углу сторон) и разделить произведение надвое.

Метод Герона

Античный математик Герон Александрийский предложил свой способ получения квадратуры треугольника. Для вычислений достаточно знать длину трех его сторон, хотя сама методика достаточно сложна и не поддастся пятиклассникам:

  1. Определите периметр: сложите отрезки сторон: a+b+c. Разделите число надвое. Полученные данные называются полупериметр (p) и имеют ключевое значение в геометрическом уравнении Герона.
  2. Проведите вычисление по формуле: p (p — a) (p — b) (p — c). Т.е. сначала вычтите по отдельности длину каждой из сторон из значения полупериметра, а затем перемножьте между собой три полученных числа и сам полупериметр.
  3. Извлеките корень из итогового значения. Искомая величина найдена.

Например, грани длиною 3, 4 и 5 см образуют полупериметр 6 см. После умножения согласно формуле получается значение 36. Корень из 36 равняется 6. Значит, 6 см 2 — площадь этого треугольника. Для равносторонней фигуры расчет еще проще.

Вычисления с помощью окружностей

На практике используются способы расчета площади треугольника с помощью вписанной или описанной окружности. В первом случае необходимо знать величины всех сторон и радиус вписанного элемента. Далее:

  • найдите полупериметр (p);
  • умножьте полученную величину на значение радиуса (r) окружности и получите площадь.

По описанной вокруг треугольника окружности также можно вычислить его площадь. Потребуется знать радиус:

  • получите произведение всех сторон треугольника;
  • умножьте радиус на 4;
  • разделите первое значение на второе.

Пример для треугольника со сторонами 3,4 и 5 см. Если описать окружность, касающуюся каждой его вершины, то ее радиус будет равняться 2,5. После подстановки величин в уравнение получите итоговое значение 6 см 2 .

Читайте также  Как сделать термопистолет из паяльника своими руками?

Предложенный набор методов — базовый, но вовсе не исчерпывающий. Существуют более сложные способы решения задания с меньшим количеством вводных данных и многоступенчатым расчетом.

Источник:
http://kakhack.ru/otdyx/obrazovanie/raschet-ploshhadi-treugolnika-prostye-i-dostupnye-sposoby.html

Калькулятор позволяет онлайн найти площадь треугольника прямоугольного, равнобедренного, равностороннего и разностороннего различными способами.

Калькулятор позволяет онлайн найти площадь треугольника разностороннего , треугольника прямоугольного , треугольника равнобедренного , треугольника равностороннего различными способами и выводит формулы с подробным решением.

  • 1. Разносторонний треугольник:
  • 1.1. по основанию и высоте: площадь треугольника равна произведению половины основания на его высоту;
  • 1.2. по двум сторонам и углу между ними: площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними;
  • 1.3. по четырем сторонам (формула Герона): площадь треугольника равна корню из произведения разностей полупериметра треугольника и каждой из его сторон;
  • 1.4. по радиусу вписанной окружности и трем сторонам: площадь треугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности;
  • 1.5. по радиусу описанной окружности и трем сторонам: площадь треугольника равна одной четвертой отношения произведения сторон на радиус описанной окружности.
  • 2. Прямоугольный треугольник:
  • 2.1. по основанию и высоте: площадь прямоугольно треугольника равна половине произведения катетов треугольника;
  • 2.2. по отрезкам на которые делит гипотенузу вписанная окружность: площадь прямоугольно треугольника равна произведению произведению отрезков на которые делит гипотенузу вписанная окружность;
  • 2.3. по четырем сторонам (формула Герона): площадь прямоугольно треугольника равна произведению разностей полупериметра треугольника и каждой его катетов.
  • 3. Равнобедренный треугольник:
  • 3.1. по боковым сторонам и углу между ними: площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения квадрата боковой стороны на синус угла между боковыми сторонами;
  • 3.2. по боковой стороне, основанию и углу между боковыми сторонами и основанием: площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения боковой стороны и основания на синус угла между ними;
  • 3.3. по основанию и углу между боковыми сторонами и основанием: площадь равнобедренного треугольника равна четверти отношения квадрата основания на тангенс половинного угла между боковыми сторонами.
  • 4. Равносторонний треугольник:
  • 4.1. по стороне: площадь равностороннего треугольника равна произведению одной четвертой корня из трех на квадрат стороны;
  • 4.2. по радиусу описанной окружности: площадь равностороннего треугольника равна произведению трех четвертей корня из трех на квадрат радиуса описанной окружности;
  • 4.3. по радиусу вписанной окружности: площадь равностороннего треугольника равна произведению трех корней из трех на квадрат радиуса вписанной окружности.
  • 4.4. по высоте: площадь равностороннего треугольника равна отношению квадрата высоты к корню из трех.
  • Источник:
    http://cae-cube.ru/on-line-kalkulyator-raschet-ploshchadi-treugolnika.html

    Как найти площадь треугольника

    Первый способ. Чтобы найти площадь треугольника, надо найти полупроизведение двух его сторон на синус угла между ними (рис. 1). То есть если известны длины двух сторон треугольника $ABC$, которые равны $a$ и $b$, а также угол $alpha$ между этими сторонами, то искомая площадь:

    Второй способ. Чтобы найти площадь треугольника, нужно сторону умножить на высоту, проведенную к этой стороне (рис. 2), и полученное произведение поделить на два. То есть если сторона треугольника $ABC$ равна $a$, а длина высоты, проведенной к этой стороне — $h_$, то имеет место формула:

    Третий способ. Чтобы найти площадь треугольника $ABC$, если известны длины всех его трех сторон $a$, $b$ и $c$, нужно воспользоваться формулой Герона:

    где $p=frac<2>$ — полупериметр.

    Четвертый способ. Чтобы найти площадь треугольника $ABC$, нужно радиус $r$ вписанной в этот треугольник окружности умножить на полупериметр $p$ треугольника:

    Пятый способ. Чтобы найти площадь треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, нужно произведение этих сторон поделить на четыре радиуса $R$, описанной около треугольника окружности:

    Примеры вычисления площади треугольника

    Задание. Найти площадь треугольника $ABC$, если известны длины двух его сторон 3 см и 5 см соответственно, а также угол между этими сторонами, который равен $30^$.

    Решение. Искомая площадь равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, то есть

    Задание. Чему равна высота треугольника $ABC$, проведенная к стороне длины 2 см, если площадь этого треугольника равна 6 см 2 ?

    Решение. Так как площадь треугольника в два раза меньше произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

    то отсюда получаем, что искомая высота

    Ответ. $h_=6$ (см)

    Краткая теория

    Онлайн калькуляторы

    Другая информация

    Рассчитайте цену решения ваших задач

    Калькулятор
    стоимости

    Решение контрольной
    от 300 рублей *

    * Точная стоимость будет определена после загрузки задания для исполнителя

    Копирование материалов с сайта возможно только с разрешения администрации портала и при наличие активной ссылки на источник.

    «Сегодня от своего лица хочу поблагодарить этот сайт за помощь мне с учебой. Здесь я пользовалась не только материалами, но и нашла преподавателей которые решали мне задачи.

    Если тебе нужно что-то сделать в универе, я сама рекомендую. А также пользуйся моей ссылкой и получай 300 руб. на счёт при регистрации.»

    Источник:
    http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_14_1.php

    Найти площадь прямоугольного треугольника

    Онлайн калькулятор

    Чтобы вычислить площадь прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

    • длины катетов a и b
    • длину гипотенузы с и длину любого из катетов (a или b)
    • длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
    • длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
    • длину гипотенузы с и один из острых углов (α или β)

    Найти площадь прямоугольного треугольника по двум катетам

    Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны оба катета (a и b)?

    К примеру найдём площадь прямоугольного треугольника у которого сторона a = 2 см, а сторона b = 4 см:

    S = 2 ⋅ 4 / 2 = 8 / 2 = 4 см²

    Найти площадь прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе

    Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны его гипотенуза (c) и один из катетов (a или b)?

    S = ½ ⋅ a ⋅ √ c² — a² = ½ ⋅ b ⋅ √ c² — b²

    К примеру посчитаем чему равна площадь прямоугольного треугольника у которого катет a = 2 см, а гипотенуза c = 5 см:

    S = 2 ⋅ √ 5² — 2² / 2 = √ 25 — 4 ≈ 4.58 см²

    Найти площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему к нему острому углу

    То есть к катету a прилежащий ∠β, а к катету b∠α

    Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?

    S = ½ ⋅ a² ⋅ tg(β) = ½ ⋅ b² ⋅ tg(α)

    К примеру посчитаем чему равна площадь прямоугольного треугольника у которого катет a = 4 см, а прилежащий к нему ∠β = 45°:

    S = ½ ⋅ 4² ⋅ tg(45) = ½ ⋅ 16 ⋅ 1 = 16 / 2 = 8 см²

    Найти площадь прямоугольного треугольника по катету и противолежащему к нему острому углу

    То есть к катету a противолежащий ∠α, а к катету b∠β

    Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?

    S = ½ ⋅ a² ⋅ tg(90 — α) = ½ ⋅ b² ⋅ tg(90 — β)

    Читайте также  Как сделать блокнотик из одного листа бумаги (без клея и скрепок) - мастер-класс с пошаговым фото для детей, родителей и педагогов

    К примеру посчитаем чему равна площадь прямоугольного треугольника у которого катет a = 4 см, а противолежащий к нему ∠α = 45°:

    S = 4² / 2⋅ tg(45) = 16 / 2 ⋅ 1 = 8 см²

    Найти площадь прямоугольного треугольника зная длину гипотенузы и один из острых углов

    Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны длина гипотенузы (c) и один из острых углов?

    S = ½ ⋅ c² ⋅ sin(α) ⋅ cos(α) = ½ ⋅ c² ⋅ sin(β) ⋅ cos(β)

    К примеру посчитаем чему равна площадь прямоугольного треугольника у которого гипотенуза c = 8 см, а ∠α = 45°:

    S = ½ ⋅ 8² ⋅ sin(45) ⋅ cos(45) ≈ ½ ⋅ 64 ⋅ 0.7071067812 ⋅ 0.7071067812 ≈ 16 см²

    Источник:
    http://poschitat.online/ploshad-pryamougolnogo-treugolnika